La teoria delle proporzioni riveste un ruolo centrale nel progetto di matematizzazione del sapere ideato da Pacioli. Al quinto libro degli Elementi di Euclide, che innerva la sesta distinzione della Summa, frate Luca dedicò, infatti, anche una serie di lezioni alla Scuola di Rialto, precedute da una prolusione tenuta l’11 agosto 1508, nella chiesa di S. Bartolomeo. Di fronte a un uditorio di circa cinquecento persone composto da teologi, filosofi, medici, letterati, artisti ed eminenti personaggi della Venezia di inizio Cinquecento, il reverendo padre e maestro di teologia Luca Pacioli da Borgo Sansepolcro tenne un discorso sulla virtù  e la forza delle proporzioni che ripete a grandi linee quello esposto nella Summa.

L’idea “metafisica” che guida il progetto culturale di frate Luca è che il libro del mondo sia scritto con i caratteri della geometria e della matematica e con la “sintassi” delle proporzioni. Gli antichi filosofi, infatti, “chiaro cognoscivano che de niuna cosa in natura mai era possibile haver notitia, se la loro proportione non se intendeva. Conciosiacosa che, tutti li nostri studi di qualunche facultà si vogliano sienno per intender la convenientia da una cosa a un’altra”. Le proporzioni, quindi, non solo costituiscono il fondamento delle artes liberales e di discipline come la medicina e il diritto, ma risultano necessarie anche per l'arte “de' sartori” e del “fabro lignario”, per i “maestri de navi, barci, navilii, galee”, per “l'arte ancora de militia” e del “fabroferraro”, per “li testari e lanari”, per i mercanti, per i “lapicidi e muratori” e per tutti gli “artefici, maxime meccanici”. “Se tu ben discorri – rileva infatti Pacioli - in tutte le arti tu troverai la proportione de tutte esser madre e regina e senza lei niuna poterse exercitare”( L. Pacioli, Summa,cit., distinctio VI, c, 68v).

Pacioli non vuole elevare soltanto le arti al livello delle arti liberali ma intende ricondurre ad uno stesso nucleo conoscitivo - la teoria delle proporzioni – tutto il sapere dei “pratici volgari”. Nel perseguire questo scopo non esita a ricorrere a motivazioni teologiche e metafisiche: la proporzione – afferma frate Luca - è indispensabile a tutti i mestieri, le arti e le scienze “peroché impossibile è alcuna cosa in natura persistere se la non è debitamente proportionata a sua necessità”.

L’immagine matematica del mondo che traspare in alcuni passi della Summa trova una  più nitida definizione nel Compendium de divina proportione, presentato alla corte di Ludovico il Moro nel 1498. In quest’opera infatti, Pacioli individua nella “proportione havente el mezzo e doi extremi” il rapporto geometrico mediante il quale il Creatore ha plasmato i cinque poliedri regolari dei quali, secondo la cosmologia platonica del Timeo, sono costituiti gli elementi archetipici del mondo: acqua, aria, terra, fuoco ed etere cristallino. La teoria euclidea delle proporzioni riceve così una più accentuata fondazione metafisica con l’ausilio della dottrina timaica, rivisitata da Pacioli alla luce delle sue considerazioni filosofiche circa la divina proportione. Quest'ultima non è altro che la sezione aurea di un segmento, una proporzione che compare tra l’altro anche nella costruzione del dodecaedro, il poliedro regolare con il quale, in base alla tradizione neoplatonica, era composto il quinto elemento, e cioè l’etere.

Questa nostra proportione Duca – scrive pertanto Pacioli rivolgendosi al Moro - è de tanta prerogativa e de excellentia degna quanto dir mai se potesse per respecto dela sua infinita potentia. Conciosiaché senza sua notitia moltissime cose de admiratione dignissime né in filosofia né in alcun altra scientia mai a luce poterieno pervenire.

L’eccezionalità e la “infinita potentia” della proporzione aurea sono connesse inoltre a quelli che frate Luca definisce i suoi tredici "mirabili effetti", e che in realtà sono semplicemente le proprietà della proporzione continua a:x= x:(a-x), ricavate dagli Elementi di Euclide. L’esposizione in volgare delle proposizioni contenute nel XIII libro dell’opera euclidea è, però, condotta dal matematico di Sansepolcro  sulla base dell'idea che la “proportione havente el mezzo e doi extremi” sia divina. L’uso dell'aggettivo “divina” è giustificato da Pacioli in base a cinque analogie di stampo teologico:

1)  come Dio, la “proportione havente el mezzo e doi extremi” è unica;

2)  come la Trinità è una sostanza in tre persone, così la proporzione “aurea” consta di tre termini;

3)  “Commo Idio propriamente non se pò diffinire né per parolle a noi intendere, così questa proportione non se pò mai per numero intendibile asegnare, né per alcuna quantità rationale exprimere, ma sempre fia occulta e secreta e da li mathematici chiamata irrationale”;

4)  come Dio è immutabile ed è tutto in ogni parte così questa proporzione è invariabile e si riproduce all’infinito;

5)  infine, come la virtù celeste o quintessenza permette di creare i quattro elementi della natura e conferire ad essi l’essere, così la divina proporzione permette di creare il dodecaedro, il più complesso e nobile dei poliedri regolari, composto di dodici pentagoni regolari. I cinque corpi regolari inoltre “non è possibile fra loro poterse proportionare, né da la sphera poterse intendere circumscriptibili, senza la nostra detta proportione”, che pertanto costituisce l’essenza necessaria del mondo.

che cos'è la sezione aurea?
La sezione aurea è quella parte di un segmento media proporzionale tra l'intero segmento e la parte restante.
Nella proporzione aurea, perciò, il rapporto dell’intero segmento con la parte maggiore è uguale al rapporto della parte maggiore del segmento con quella minore. Se indichiamo con a un segmento e con x la sezione aurea, allora la proporzione aurea è la seguente: a: x = x : (a-x).  Se a = 1, la sezione aurea misura 0.618...
La costruzione geometrica della sezione aurea è la seguente:
Dato il segmento AB, si traccia la perpendicolare ad AB, per il punto A e si riporta con il compasso AB su detta perpendicolare, fino ad incontrare il punto C. Da M, punto medio di AC, si punta il compasso con apertura MB, fino ad intercettare la perpendicolare CD nel punto D. Si riporta infine il semento AD su AB. AS è la sezione aurea di AB.

La divina proporzione - rileva Pacioli - appartiene alla classe di quelle formate da tre termini, e quindi delle proporzioni “continue”, nelle quali l'estremo maggiore sta al medio come il medio al minore. Si tratta quindi di una proporzione che si instaura alle stesse condizioni delle altre, ma che mantiene la sua peculiarità in quanto si configura come una proporzione continua nella quale il rapporto tra il termine medio e gli estremi non può variare e si mantiene costantemente fisso e irrazionale:

Dico similmente dela nostra divina – spiega frate Luca - observare le medesime conditioni, cioé che sempre fra li suoi tre termini, cioé mezzo e doi extremi, invariabilmente contene doi proportioni sempre de una medesima denominatione. La qualcosa de l'altre o sienno continue o ver discontinue pò in infiniti varii modi advenire. Però che ale volte fra lor tre termini sirà dupla, alcuna volta tripla; et sic in ceteris discorrendo per tutte le communi specie. Ma fra 'l mezzo e li extremi de questa nostra non è possibile poterse variare commo se dirà.

La divina proporzione è in questo aspetto simile alla figura di Cristo: come Gesù si incarna diventando uomo a tutti gli effetti e restando allo stesso tempo Dio, così la proporzione aurea è una proporzione come tutte le altre del suo genere e pur tuttavia possiede proprietà uniche, che giustificano l'attribuzione dell'aggettivo divina. Luca dal Borgo insiste frequentemente nel mostrare la similitudine tra le proprietà matematiche della “proportione havente le mezzo e doi extremi” e gli attributi di Cristo, in quanto ritiene che essa sia la cifra, “dal ciel mandata”, con la quale Dio ha creato il mondo in numero, pondere et mensura. L’universo, secondo frate Luca, si presta infatti ad essere studiato tramite la matematica proprio perché è strutturato geometricamente mediante la “divina proporitone”. La geometria euclidea viene così ammantata nel libro di frate Luca da un abito teologico di matrice cristocentrica, che funge da corredo filosofico all’esposizione delle proposizioni degli Elementi relative alla divina proporzione.

Rispetto alla teoria delle proporzioni contenuta nella sesta distinzione della Summa l’aspetto che maggiormente caratterizza l’opera successiva di Pacioli è costituito, del resto, proprio dall’enfasi posta sul concetto di divina proportione. La “proportione havente el mezzo e doi extremi” appare agli occhi del matematico di Sansepolcro come il rapporto che presiede alla formazione del cosmo. L’universo risulta strutturato, infatti, in base ad un’analisi “cristallografica” delle cose che associa a ciascuno dei cinque elementi naturali (acqua, aria, terra, fuoco ed etere) un poliedro regolare (ottaedro, icosaedro, cubo, tetraedro e dodecaedro). La generazione dei solidi a sua volta deriva dalle proporzioni fisse tra lo spigolo e il diametro della sfera nella quale i cinque poliedri regolari sono inscritti. La sintassi del mondo è costituita pertanto dalle proporzioni, e tra queste gioca un ruolo fondamentale la “proportione havente el mezzo e doi extremi”, che consente di generare sia l’icosaedro che il dodecaedro.

 La corrispondenza stabilita nella Divina proportione tra i cinque sferoidi e i cinque elementi segue abbastanza fedelmente l’analisi platonica contenuta nel Timeo, anche se la fonte diretta del frate è soprattutto il commento del Campano agli Elementi di Euclide, più che il testo di Platone. L’elemento di novità nella “lettura” del Timeo da parte di Luca dal Borgo è costituito semmai dall’importanza rivestita dalla proporzione aurea nel porre in essere gli elementi ed il mondo stesso. Scrive infatti Pacioli:

sì commo Idio l’essere conferesci a la Virtù Celeste, per altro nome detta quinta essenza, e mediante quella a li altri quatro corpi semplici, cioè a li quatro elementi (terra, aqua, aire e fuoco) e per questi l’essere a cadauna altra cosa in natura, così questa nostra santa proporzione l’esser formale dà, secondo l’antico Platone in suo Timeo, a esso cielo, atribuendoli la figura del corpo detto duodecedron, altramente corpo de 12 pentagoni, el quale [...] senza la nostra proportione non è possibile poterse formare.

L’essere dei quattro elementi empedoclei dipende dalla quinta essenza e questa, a sua volta, non può esistere senza la divina proporzione. L’incastro geometrico del mondo si regge, quindi, sul segreto della sezione aurea. Ecco perché Pacioli, nei capitoli centrali del Compendium, si preoccupa di definire 13 teoremi relativi alla divina proporzione, onde rilevarne armoniche implicazioni cosmiche. Ciò che maggiormente conta tuttavia per frate Luca è l’aver mostrato come le proporzioni, e in particolare la “divina proportione”, rappresentino non soltanto il linguaggio universale delle arti e delle scienze ma anche il criterio con il quale Dio ha plasmato, mediante i poliedri regolari, gli elementi del mondo. La componente metafisica, appena accennata nella Summa, costituisce pertanto nella Divina proportione il supporto filosofico essenziale per la fondazione di tutto lo scibile umano sulla teoria euclidea delle proporzioni.